Biến đổi Fourier là gì?

Khi chúng ta lắng nghe một bản nhạc, đôi tai thực hiện một phép tính kỳ diệu. Tiếng sáo cao vút, âm trung của đàn violin, và tiếng trầm ngân của contrabass hòa quyện thành những làn sóng áp suất với nhiều tần số khác nhau. Khi làn sóng âm thanh tổng hợp đó đi qua ống tai và vào đến ốc tai hình xoắn ốc, những sợi lông có độ dài khác nhau sẽ cộng hưởng với các cao độ khác nhau, tách tín hiệu hỗn độn thành từng “nhóm” âm cơ bản.

Phải đến thế kỷ 19, các nhà toán học mới nắm bắt được phép tính tương tự này.

Đầu những năm 1800, nhà toán học người Pháp Jean-Baptiste Joseph Fourier đã tìm ra cách lấy bất kỳ một hàm số nào và phân rã nó thành một tập hợp các sóng cơ bản, hay tần số. Khi cộng những tần số cấu thành đó lại, ta thu được hàm số ban đầu. Kỹ thuật này, ngày nay gọi là biến đổi Fourier, đã cho phép ông — một người từng là tín đồ nhiệt thành của Cách mạng Pháp — khởi xướng một cuộc cách mạng toán học mới.

Từ biến đổi Fourier đã hình thành nên cả một lĩnh vực toán học, gọi là phân tích điều hòa (harmonic analysis), chuyên nghiên cứu các thành phần cấu tạo của hàm số. Chẳng bao lâu sau, các nhà toán học bắt đầu khám phá ra những mối liên hệ sâu sắc giữa phân tích điều hòa và các lĩnh vực khác của toán học và vật lý, từ lý thuyết số đến phương trình vi phân cho tới cơ học lượng tử. Bạn cũng có thể bắt gặp biến đổi Fourier ngay trong chiếc máy tính của mình — nó cho phép nén tệp, cải thiện tín hiệu âm thanh, và nhiều ứng dụng khác nữa.

“Khó mà đánh giá hết được tầm ảnh hưởng của phân tích Fourier trong toán học,” Leslie Greengard (Đại học New York và Viện Flatiron) cho biết. “Nó chạm tới gần như mọi lĩnh vực của toán học, vật lý, hóa học và nhiều lĩnh vực khác.”

Ngọn lửa đam mê

Fourier sinh năm 1768, trong bối cảnh nước Pháp trước Cách mạng đầy hỗn loạn. Mồ côi cha mẹ khi mới 10 tuổi, ông được nuôi dạy trong một tu viện tại quê nhà Auxerre. Suốt thập niên tiếp theo, ông giằng xé giữa việc dành cả đời cho tôn giáo hay cho toán học, cuối cùng từ bỏ con đường tu hành để trở thành một thầy giáo.

Ông cũng tích cực tham gia các phong trào cách mạng ở Pháp, cho đến năm 1794, dưới thời Khủng bố (Reign of Terror), khi mới 26 tuổi, ông bị bắt giam vì bày tỏ những quan điểm bị coi là chống cách mạng. Fourier đã ở trong danh sách chờ bị đưa lên máy chém.

Trước khi Fourier bị hành quyết, thời kỳ Khủng bố đã chấm dứt. Vì vậy, vào năm 1795, ông trở lại giảng dạy toán học. Vài năm sau, ông được bổ nhiệm làm cố vấn khoa học cho Napoléon Bonaparte và tham gia chiến dịch của Napoleon trong cuộc xâm lược Ai Cập. Chính tại đây, trong khi vừa nghiên cứu về cổ vật Ai Cập, Fourier bắt đầu công trình nghiên cứu sẽ dẫn ông đến việc phát triển biến đổi mang tên mình: ông muốn tìm hiểu toán học của sự dẫn nhiệt. Khi trở về Pháp vào năm 1801 — ngay trước khi quân đội Pháp bị đánh bật khỏi Ai Cập và phiến đá Rosetta bị trao cho người Anh — Fourier gần như không còn nghĩ đến điều gì khác.

Nếu bạn làm nóng một đầu thanh kim loại, nhiệt sẽ dần lan tỏa cho đến khi toàn bộ thanh đạt cùng một nhiệt độ. Fourier cho rằng sự phân bố nhiệt trong thanh kim loại có thể được biểu diễn như tổng của những sóng đơn giản. Khi kim loại nguội đi, các sóng này mất dần năng lượng, khiến chúng trở nên mượt hơn và cuối cùng biến mất. Những sóng dao động nhanh hơn — tức là có nhiều năng lượng hơn — sẽ tắt trước, tiếp theo đó là các tần số thấp hơn. Nó giống như một bản giao hưởng kết thúc khi từng nhạc cụ lần lượt lặng đi, từ tiếng piccolo cao vút đến tiếng tuba trầm ấm.

Đề xuất của Fourier khi đó là một điều cực kỳ táo bạo. Khi ông trình bày nghiên cứu này tại một buổi họp của Viện Hàn lâm Paris vào năm 1807, nhà toán học lừng danh Joseph-Louis Lagrange được cho là đã nhận xét công trình này là “hoàn toàn không thể nào có thật.”

Điều khiến các đồng nghiệp lo lắng nhất là những trường hợp kỳ lạ, khi sự phân bố nhiệt có thể thay đổi một cách cực kỳ đột ngột — chẳng hạn một thanh kim loại mà một nửa hoàn toàn lạnh, nửa còn lại hoàn toàn nóng. Fourier khẳng định rằng ngay cả bước nhảy nhiệt độ đột ngột như vậy vẫn có thể mô tả bằng toán học: chỉ cần cộng vô số đường cong đơn giản thay vì một số hữu hạn. Nhưng hầu hết các nhà toán học lúc bấy giờ tin rằng không thể nào cộng các đường cong trơn tru lại để tạo thành một góc nhọn.

Ngày nay, chúng ta biết rằng Fourier về cơ bản đã đúng.

“Bạn có thể biểu diễn bất cứ thứ gì như tổng của những dao động cực kỳ đơn giản này,” nhà toán học Charles Fefferman (Đại học Princeton) cho biết. “Người ta vẫn nói rằng, nếu bạn có đủ nhiều chiếc âm thoa và chỉnh chúng một cách hoàn hảo, chúng có thể tái tạo cả bản Giao hưởng số 9 của Beethoven.”

Quá trình này chỉ thất bại đối với những hàm “kỳ quái” nhất — chẳng hạn các hàm dao động hỗn loạn đến mức dù bạn có phóng to bao nhiêu lần đi nữa, chúng vẫn cứ dao động không ngừng.

Vậy thì, biến đổi Fourier hoạt động như thế nào?

Một đôi tai được rèn luyện

Thực hiện biến đổi Fourier giống như việc bạn ngửi một mùi nước hoa và phân biệt được các thành phần tạo nên nó, hay nghe một hợp âm jazz phức tạp và tách được từng nốt nhạc riêng lẻ.

Về mặt toán học, biến đổi Fourier là một hàm số. Nó nhận đầu vào là một hàm bất kỳ — có thể trông rất phức tạp. Sau đó, đầu ra của nó là một tập hợp các tần số. Nếu bạn viết ra những sóng sin và cos đơn giản có các tần số đó, rồi cộng chúng lại, bạn sẽ thu được hàm ban đầu.

Để làm được điều này, biến đổi Fourier về cơ bản sẽ quét qua tất cả các tần số có thể có và xác định xem mỗi tần số đóng góp bao nhiêu vào hàm ban đầu. Hãy cùng xem một ví dụ đơn giản.

Xét hàm số sau:

Biến đổi Fourier sẽ kiểm tra xem mỗi tần số đóng góp bao nhiêu vào hàm gốc. Nó thực hiện điều này bằng cách nhân các sóng với nhau.

Dưới đây là những gì xảy ra nếu ta nhân hàm gốc với một sóng sin có tần số bằng 3:

Có rất nhiều đỉnh lớn, điều đó có nghĩa là tần số 3 có đóng góp vào hàm gốc. Độ cao trung bình của các đỉnh này cho thấy mức độ đóng góp lớn đến đâu.

Bây giờ, hãy kiểm tra xem tần số 5 có mặt hay không. Đây là kết quả khi ta nhân hàm gốc với một sóng sin có tần số bằng 5:

Có một vài đỉnh lớn nhưng cũng có những thung lũng sâu. Biểu đồ mới này trung bình lại xấp xỉ bằng không. Điều đó cho thấy rằng tần số 5 không đóng góp vào hàm gốc.

Biến đổi Fourier thực hiện điều này cho mọi tần số có thể có, bằng cách nhân hàm gốc với cả sóng sin lẫn cos. (Trong thực tế, phép tính này được thực hiện trên mặt phẳng phức, sử dụng kết hợp số thực và số ảo.)

Theo cách đó, biến đổi Fourier có thể phân rã một hàm phức tạp trông rối rắm thành chỉ một vài con số. Điều này khiến nó trở thành công cụ vô cùng quan trọng đối với các nhà toán học: khi họ bế tắc với một bài toán, họ có thể thử chuyển đổi nó. Thường thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều khi được dịch sang “ngôn ngữ của tần số.”

Tái hiện

Biến đổi Fourier cũng hoạt động với các đối tượng có nhiều chiều hơn, chẳng hạn như hình ảnh. Bạn có thể hình dung một ảnh thang xám như một hàm hai chiều, trong đó mỗi điểm ảnh (pixel) cho biết độ sáng của nó. Biến đổi Fourier sẽ phân rã hàm này thành một tập hợp các tần số hai chiều. Các sóng sin và cos được xác định bởi những tần số đó tạo thành các hoa văn sọc theo nhiều hướng khác nhau. Những hoa văn này — cùng với các tổ hợp đơn giản của chúng trông giống như các ô bàn cờ — có thể cộng lại để tái tạo bất kỳ hình ảnh nào.

Chẳng hạn, bất kỳ hình ảnh nào kích thước 8 x 8 đều có thể được xây dựng từ sự kết hợp của 64 khối cơ bản dưới đây. Sau đó, một thuật toán nén có thể loại bỏ thông tin ở tần số cao — vốn tương ứng với các chi tiết nhỏ — mà không làm thay đổi đáng kể cách con người nhìn hình ảnh. Đây chính là cách JPEG nén những hình ảnh phức tạp thành lượng dữ liệu nhỏ gọn hơn rất nhiều.

Vào những năm 1960, các nhà toán học James Cooley và John Tukey đã nghĩ ra một thuật toán có thể thực hiện biến đổi Fourier nhanh hơn rất nhiều — được đặt tên là biến đổi Fourier nhanh (fast Fourier transform – FFT). Kể từ đó, biến đổi Fourier hầu như luôn được áp dụng bất cứ khi nào có tín hiệu cần xử lý. “Giờ đây nó đã trở thành một phần của cuộc sống hằng ngày,” Greengard nói.

Nó đã được sử dụng để nghiên cứu thủy triều, phát hiện sóng hấp dẫn, và phát triển ra-đa cùng cộng hưởng từ (MRI). Nó cho phép chúng ta giảm nhiễu trong các tệp âm thanh phức tạp, cũng như nén và lưu trữ đủ loại dữ liệu. Trong cơ học lượng tử — lĩnh vực nghiên cứu thế giới vi mô — biến đổi Fourier thậm chí còn cung cấp nền tảng toán học cho nguyên lý bất định, vốn phát biểu rằng không thể đồng thời biết chính xác vị trí và động lượng của một hạt. Bạn có thể viết một hàm mô tả các vị trí khả dĩ của một hạt; biến đổi Fourier của hàm đó sẽ mô tả các động lượng khả dĩ của hạt. Khi hàm ban đầu cho biết vị trí của hạt với xác suất cao — thể hiện bằng một đỉnh nhọn trên đồ thị — thì biến đổi Fourier của nó sẽ trải rộng. Điều đó khiến ta không thể xác định được động lượng của hạt. Ngược lại, nếu động lượng được xác định rõ thì vị trí lại trở nên mơ hồ.